프리드만 방정식과 아인슈타인의 우주상수

프리드만은 정지상태가 아닌 우주에 대한 방정식을 얻기 위해 등방 균일우주에 대한 아인슈타인의 장방정식들을 풀어내었다.

이를 크기인자 R(t)에 관한 식으로 풀어내면

이 나온다. 이때의 k에 의해 우주의 미래는 3가지로 결정된다.

1. k가 양수일 때.

우주의 전체 에너지는 음수가 되어 우주는 수축을 하게된다.

즉 닫힌우주가 된다.

2. k가 음수일 때.

우주 전체 에너지는 양수가 되어 우주는 팽창을 하게된다.

즉 열린우주가 된다.

3. k=0 일 때.

우주의 전체 에너지는 제로가 되고 우주는 팽창을 멈추게 된다.

즉 편평한 우주가 된다.

이는 수학적으로 해석할 수도 있다.

곡률은

이다.

여기서 k의 값에 따라 곡률이 바뀌게 되고

즉 우주모델의 모양을 추측해 볼 수 있다.

1. 닫힌우주에서는 k가 음수가 되고 이는 곧 타원의 모형을 가지게 될것이다.

2. 열린우주에서는 k가 양수가 되고 이는 곧 쌍곡모형을 가지게 될 것이다.

3. 닫힌우주에서는 k=0가 되어 곡률이 없는 평면모형을 가지게 될 것이다.

아인슈타인은 정적인 우주를 믿었었다.

그는 자신이 만들어낸 장 방정식들이 정지된 우주를 만들어 낼 수 없기에 추가항을 입력하였다.

으로 이를 우주상수라 한다.

우주상수의 에너지는 

이 되고 

힘은

이 된다.

란다가 0보다 클때 팽창하는 힘이 되어 중력 폭축과 균형을 이룬다고 아인슈타인은 생각하였다.

하지만 이후 아인슈타인은 우주상수는 자신의 일생일대 최고의 실수라며 우주상수의 도입을 취소했다.